勒让德多项式介绍及MATLAB绘图示例‌

我们都知道（其实都不知道才正常）勒让德(legendre)多项式，它的基本表达式是这样的：

从图像上看，它是一个类似正弦函数的波动函数。

勒让德函数是怎么来的，又是干什么用的呢？

首先介绍一下Helmholtz方程。它是稳态方程的其中一种。

Helmholtz方程

上次我们介绍了热传导方程的推导

热传导问题的数学物理推导

不妙脆角 · 3164阅读

什么叫稳态呢，就是说系统已经达到了稳定，不再随事件发生变化。因此，稳态方程的自变量是没有时间项的，只有空间分布。

那么Helmholtz方程是怎么来的呢？这就又要介绍一下波动方程，所以我们这次就不说了

Helmholtz方程在不同正交坐标系下有不同的形式

在球坐标系下，

球坐标系

由投影得到它和直角坐标的变换关系：

它是这样的：

对该方程进行分离变量法，得到三个独立方程：

我们经过分离变量法，把和有关的项单独分离为一个方程，这个方程就是连带Legendre方程。

连带Legendre方程

如果μ=0，方程就变为了简单形式，这个就是Legendre方程

Legendre方程

Legendre方程的解就是Helmholtz方程中θ分量方程的解。

因为导出Legendre方程的解涉及知识过于复杂，我就直接给结论了

用这个方程算一下前几个阶勒让德多项式是什么：

随便拿几个看看

用matlab怎么画呢？

matlab非常贴心的给了连带勒让德的计算函数

P=legendre(n,X);

n是刚才的阶数，X是输入的自变量。

它会生成m=0,1,2,...,n级的连带勒让德函数，勒让德函数就是0级。

例如我们画5阶勒让德函数：

x=-1:0.001:1;

 y=legendre(5,x);

plot(x,y(1,:));%第一行就是0级的结果

总之你就把勒让德函数当作是正弦函数一样的东西就行啦！它也是一个波动函数，并且具有一些有用的性质，可以作一些方程的解。只不过它没正弦函数那么简单直观。