基于C++的 AVL树旋转算法深入研究（含四种关键旋转）

引子：AVL树是因为什么出现的？

二叉搜索树可以缩短查找的效率，如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下时间复杂度：O(N)

两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(对树中的结点进行调整),即为AVl树以他们的名字缩写命名也可以叫高度二叉搜索树

1.AVl树的的特性

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树，它就是AVL树。

它的左右子树都是AVL树
左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)，节点右子树最长路径-左子树最长路径

如果AVl树有n个结点，其高度可保持在O(logN) ，搜索时间复杂度O(logN),为什么？

答：左右子树高度之差的绝对值不超过1，那么只有最后一层会差一部分的节点；

2.AVl树的框架

template<class K, class V>
struct AVLtreeNode
{
    //节点构造函数
    AVLtreeNode(const pair<K, V>& kv)
        :_left(nullptr)
        ,_right(nullptr)
        ,_parent(nullptr)
        ,_bf(0)
        ,_kv(kv)
    {}
    //节点的成员
    //三叉链
    AVLtreeNode<K, V>* _left;
    AVLtreeNode<K, V>* _right;
    AVLtreeNode<K, V>* _parent;
    int _bf;//平衡因子
    //数据使用库里面的pair类存储的kv
    pair<K, V> _kv;
};
template<class K,class V>
class AVLtree
{
    typedef AVLtreeNode<K, V> Node;
public:
    //构造函数
    AVLtree()
        :_root(nullptr)
    {}
    //四种旋转
    void RotateL(Node* parent)
    void RotateR(Node* parent)
    void RotateLR(Node* parent)
    void RotateRL(Node* parent)
    //插入
    bool Insert(const pair<K, V>& kv)
    //寻找
    Node* Find(const K& kv)
private:
    Node* _root;
};

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三叉链是什么？

3.AVL树的插入

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
    {
        if (_root == nullptr)
        {
            _root = new Node(kv);
            return true;
        }
        Node* parent = _root, *cur = _root;
        while (cur)
        {
            //找nulptr，如果已经有这个key了，二叉搜索树的特性不支持冗余，所以返回失败
            if (cur->_kv.first > kv.first)
            {
                parent = cur;
                cur = cur->_left;
            }
            else if (cur->_kv.first <kv.first)
            {
                parent = cur;
                cur = cur->_right;
            }
            else
            {
                return false;
            }
        }
        //
        cur = new Node(kv);
        //判断孩子在父亲的左边还是右边
        if (cur->_kv.first > parent->_kv.first)
        {
            parent->_right = cur;
            cur->_parent = parent;
        }
        else
        {
            parent->_left = cur;
            cur->_parent = parent;
        }
        while (parent)
        {
            //影响一条路径所有的祖先
            if (parent->_right == cur)
                parent->_bf++;
            else
                parent->_bf--;
             
            if (parent->_bf == 0)
            {
                //左右平衡了不会再影响祖先了
                break;
            }
            if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
            {
                //当前节点所在子树变了，会影响父亲
                // 继续往上更新
                cur = parent;
                parent = parent->_parent;
            }
            else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
            {
                //parent所在子树已经不平衡，需要旋转处理一下
                if (parent->_bf == -2)
                {
                    if (cur->_bf == -1)
                        // 右单旋
                        RotateR(parent);
                    else // cur->_bf == 1
                        RotateLR(parent);
                }
                else // parent->_bf  == 2
                {
                    if (cur->_bf == 1)
                        // 左单旋
                        RotateL(parent);
                    else // cur->_bf == -1
                        RotateRL(parent);
                }
                break;
            }
            else
            {
                // 插入节点之前，树已经不平衡了，或者bf出错。需要检查其他逻辑
                assert(false);
            }
        }
        return true;
    }

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插入整体逻辑：

如果还没有元素是一课空树，直接插入即可；如果有元素，按pair的first(key)和比较的节点比较结果为大说明为空的哪个位置在右边，和比较的节点比较的结果小说明为空的哪个位置在左边，如果相等说明已经有这个元素了，二叉搜索树不支持冗余返回一个pair类第一个成员为那个相同元素的map的迭代器和第二个成员为false的pair类迭代器；
不知道这个已经找到的位置在父节点的左边还是右边，需要判断一下，然后插入元素；
插入元素的后那么平衡因子将发生变化，为0说明这个父亲节点左右平衡不会影响其他节点，为1或者-1需要向上调整，为2或者-2说明已经不平衡需要旋转；

节点右子树最长路径-左子树最长路径，右边插入节点就+，左边插入节点就-；

3.1四种旋转（左单旋、右单旋、左右双旋、右左双旋）

3.1.1左单旋

调用函数是传的参数是轴点
要保留轴点的父亲，以及调整三叉链
调整后原来的孩子和父亲（轴点）的平衡因子都置为0；

void RotateR(Node* parent)
    {
        //轴点的左，孩子节点
        Node* subL = parent->_left;
        //孩子节点的右
        Node* subLR = subL->_right;
        //我的右当你（轴点）的左
        parent->_left = subLR;
        //调整三叉链
        if (subLR)
            subLR->_parent = parent;
        //你（轴点）做我的右
        subL->_right = parent;
        //调整三叉链
        Node* parentParent = parent->_parent;
        parent->_parent = subL;
  
        if (parent == _root)
        {
            _root = subL;
            _root->_parent = nullptr;
        }
        else
        {
            //轴点的父亲新的孩子节点
            if (parentParent->_left == parent)
                parentParent->_left = subL;
            else
                parentParent->_right = subL;
  
            subL->_parent = parentParent;
        }
  
        subL->_bf = parent->_bf = 0;
    }

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3.1.2右单旋

调用函数是传的参数是轴点
要保留轴点的父亲，以及调整三叉链
调整后原来的孩子和父亲（轴点）的平衡因子都置为0；

void RotateL(Node* parent)
    {
        //轴点的右，孩子节点
        Node* subR = parent->_right;
        //孩子节点的左
        Node* subRL = subR->_left;
        //我的左当你（轴点）的右
        parent->_right = subRL;
        //调整三叉链
        if (subRL)
        {
            subRL->_parent = parent;
        }
        //你（轴点）做我的左
        subR->_left = parent;
        Node* parentparent = parent->_parent;
  
        parent->_parent = subR;
        if (parent == _root)
        {
            if (parentparent->_left == parent)
                parentparent->_left = subR;
            else
                parentparent->_right = subR;
  
            subR->_parent = parentparent;
        }
        else
        {
            subR->_parent = nullptr;
            _root = subR;
        }
  
        subR->_bf = parent->_bf = 0;
  
    }

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3.1.3左右双旋

调用左单旋是传的参数是轴点1，右单旋传的轴点2
平衡因子分3种情况，依靠3个被改变节点中最后一个来判断

void RotateLR(Node* parent)
    {
        Node* subL = parent->_left;
        Node* subLR = subL->_right;
        int bf = subLR->_bf;
  
        RotateL(parent->_left);
        RotateR(parent);
  
        // ...平衡因子调节还需要具体分析
        if (bf == -1)
        {
            subL->_bf = 0;
            parent->_bf = 1;
            subLR->_bf = 0;
        }
        else if (bf == 1)
        {
            parent->_bf = 0;
            subL->_bf = -1;
            subLR->_bf = 0;
        }
        else if (bf == 0)
        {
            parent->_bf = 0;
            subL->_bf = 0;
            subLR->_bf = 0;
        }
        else
        {
            assert(false);
        }
    }

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依靠3个被改变节点中最后一个来判断

3.1.4右左双旋

调用右单旋是传的参数是轴点1，左单旋传的轴点2
平衡因子分3种情况，依靠3个被改变节点中最后一个来判断

void RotateRL(Node* parent)
    {
        Node* subR = parent->_right;
        Node* subRL = subR->_left;
        int bf = subRL->_bf;
  
        RotateR(parent->_right);
        RotateL(parent);
  
        // 平衡因子更新
        if (bf == 1)
        {
            subR->_bf = 0;
            parent->_bf = -1;
            subRL->_bf = 0;
        }
        else if (bf == -1)
        {
            parent->_bf = 0;
            subR->_bf = 1;
            subRL->_bf = 0;
        }
        else if (bf == 0)
        {
            parent->_bf = 0;
            subR->_bf = 0;
            subRL->_bf = 0;
        }
        else
        {
            assert(false);
        }
    }