Matlab概率统计函数入门（第一部分）

本章介绍MATLAB在概率统计中的若干命令和使用格式，这些命令存放于MatlabR12\Toolbox\Stats中。

4.1  随机数的产生

4.1.1  二项分布的随机数据的产生

命令  参数为N，P的二项随机数据

函数  binornd

格式  R = binornd(N,P)   %N、P为二项分布的两个参数，返回服从参数为N、P的二项分布的随机数，N、P大小相同。

R = binornd(N,P,m)   %m指定随机数的个数，与R同维数。

R = binornd(N,P,m,n)  %m,n分别表示R的行数和列数

例4-1

>> R=binornd(10,0.5)

R =

    3

>> R=binornd(10,0.5,1,6)

R =

    8     1     3     7     6     4

>> R=binornd(10,0.5,[1,10])

R =

    6     8     4     6     7     5     3     5     6     2

>> R=binornd(10,0.5,[2,3])

R =

    7     5     8

    6     5     6

>>n = 10:10:60;

>>r1 = binornd(n,1./n)

r1 =

    2     1     0     1     1     2

>>r2 = binornd(n,1./n,[1 6])

r2 =

    0     1     2     1     3     1

4.1.2  正态分布的随机数据的产生

命令  参数为μ、σ的正态分布的随机数据

函数  normrnd

格式  R = normrnd(MU,SIGMA)   %返回均值为MU，标准差为SIGMA的正态分布的随机数据，R可以是向量或矩阵。

R = normrnd(MU,SIGMA,m)  %m指定随机数的个数，与R同维数。

R = normrnd(MU,SIGMA,m,n)   %m,n分别表示R的行数和列数

例4-2

>>n1 = normrnd(1:6,1./(1:6))

n1 =

   2.1650    2.3134    3.0250    4.0879    4.8607    6.2827

>>n2 = normrnd(0,1,[1 5])

n2 =

   0.0591    1.7971    0.2641    0.8717   -1.4462

>>n3 = normrnd([1 2 3;4 5 6],0.1,2,3)   %mu为均值矩阵

n3 =

   0.9299    1.9361    2.9640

   4.1246    5.0577    5.9864

>> R=normrnd(10,0.5,[2,3])   %mu为10，sigma为0.5的2行3列个正态随机数

R =

   9.7837   10.0627    9.4268

   9.1672   10.1438   10.5955

4.1.3  常见分布的随机数产生

常见分布的随机数的使用格式与上面相同

表4-1  随机数产生函数表

4.1.4  通用函数求各分布的随机数据

命令  求指定分布的随机数

函数  random

格式  y = random('name',A1,A2,A3,m,n)   %name的取值见表4-2；A1，A2，A3为分布的参数；m，n指定随机数的行和列

例4-3  产生12（3行4列）个均值为2，标准差为0.3的正态分布随机数

>> y=random('norm',2,0.3,3,4)

y =

   2.3567    2.0524    1.8235    2.0342

   1.9887    1.9440    2.6550    2.3200

   2.0982    2.2177    1.9591    2.0178

4.2  随机变量的概率密度计算

4.2.1  通用函数计算概率密度函数值

命令  通用函数计算概率密度函数值

函数  pdf

格式  Y=pdf(name，K，A)

Y=pdf(name，K，A，B)

Y=pdf(name，K，A，B，C)

说明  返回在X=K处、参数为A、B、C的概率密度值，对于不同的分布，参数个数是不同；name为分布函数名，其取值如表4-2。

表4-2  常见分布函数表

例如二项分布：设一次试验，事件A发生的概率为p，那么，在n次独立重复试验中，事件A恰好发生K次的概率P_K为：P_K=P{X=K}=pdf('bino'，K，n，p)

例4-4  计算正态分布N（0，1）的随机变量X在点0.6578的密度函数值。

解：>> pdf('norm',0.6578,0,1)

ans =

   0.3213

例4-5  自由度为8的卡方分布，在点2.18处的密度函数值。

解：>> pdf('chi2',2.18,8)

ans =

   0.0363

4.2.2  专用函数计算概率密度函数值

命令  二项分布的概率值

函数  binopdf

格式  binopdf (k, n, p)   %等同于， p — 每次试验事件A发生的概率；K—事件A发生K次；n—试验总次数

命令  泊松分布的概率值

函数  poisspdf

格式  poisspdf(k, Lambda)   %等同于

命令  正态分布的概率值

函数  normpdf(K,mu,sigma)   %计算参数为μ=mu，σ=sigma的正态分布密度函数在K处的值

专用函数计算概率密度函数列表如表4-3。

表4-3  专用函数计算概率密度函数表

例4-6  绘制卡方分布密度函数在自由度分别为1、5、15的图形

>> x=0:0.1:30;

>> y1=chi2pdf(x,1); plot(x,y1,':')

>> hold on  

>> y2=chi2pdf(x,5);plot(x,y2,'+')

>> y3=chi2pdf(x,15);plot(x,y3,'o')

>> axis([0,30,0,0.2])    %指定显示的图形区域

则图形为图4-1。

4.2.3  常见分布的密度函数作图

1．二项分布

例4-7

>>x = 0:10;

>>y = binopdf(x,10,0.5);

>>plot(x,y,'+')

2．卡方分布

例4-8

>> x = 0:0.2:15;

>>y = chi2pdf(x,4);

>>plot(x,y)

图4-2

3．非中心卡方分布

例4-9

>>x = (0:0.1:10)';

>>p1 = ncx2pdf(x,4,2);

>>p = chi2pdf(x,4);

>>plot(x,p,'--',x,p1,'-')

4．指数分布

例4-10

>>x = 0:0.1:10;

>>y = exppdf(x,2);

>>plot(x,y)

图4-3

5．F分布

例4-11

>>x = 0:0.01:10;

>>y = fpdf(x,5,3);

>>plot(x,y)

6．非中心F分布

例4-12

>>x = (0.01:0.1:10.01)';

>>p1 = ncfpdf(x,5,20,10);

>>p  = fpdf(x,5,20);

>>plot(x,p,'--',x,p1,'-')

图4-4

7．Γ分布

例4-13

>>x = gaminv((0.005:0.01:0.995),100,10);

>>y = gampdf(x,100,10);

>>y1 = normpdf(x,1000,100);

>>plot(x,y,'-',x,y1,'-.')

8．对数正态分布

例4-14

>>x = (10:1000:125010)';

>>y = lognpdf(x,log(20000),1.0);

>>plot(x,y)

>>set(gca,'xtick',[0 30000 60000 90000 120000])

>>set(gca,'xticklabel',str2mat('0','$30,000','$60,000',…

                            '$90,000','$120,000'))

图4-5

9．负二项分布

例4-15

>>x = (0:10);

>>y = nbinpdf(x,3,0.5);

>>plot(x,y,'+')

10．正态分布

例4-16

>> x=-3:0.2:3;

>> y=normpdf(x,0,1);

>> plot(x,y)

图4-6

11．泊松分布

例4-17

>>x = 0:15;

>>y = poisspdf(x,5);

>>plot(x,y,'+')

12．瑞利分布

例4-18

>>x = [0:0.01:2];

>>p = raylpdf(x,0.5);

>>plot(x,p)

图4-7

13．T分布

例4-19

>>x = -5:0.1:5;

>>y = tpdf(x,5);

>>z = normpdf(x,0,1);

>>plot(x,y,'-',x,z,'-.')

14．威布尔分布

例4-20

>> t=0:0.1:3;

>> y=weibpdf(t,2,2);

>> plot(y)

图4-8

4.3  随机变量的累积概率值(分布函数值)

4.3.1  通用函数计算累积概率值

命令  通用函数cdf用来计算随机变量的概率之和（累积概率值）

函数  cdf

格式  

    cdf('name',K,A)

    cdf('name',K,A,B)

    cdf('name',K,A,B,C)

说明  返回以name为分布、随机变量X≤K的概率之和的累积概率值，name的取值见表4-1 常见分布函数表

例4-21  求标准正态分布随机变量X落在区间(-∞，0.4)内的概率（该值就是概率统计教材中的附表：标准正态数值表）。

解：

>> cdf('norm',0.4,0,1)

ans =

   0.6554

例4-22  求自由度为16的卡方分布随机变量落在[0，6.91]内的概率

>> cdf('chi2',6.91,16)

ans =

   0.0250

4.3.2  专用函数计算累积概率值（随机变量的概率之和）

命令  二项分布的累积概率值

函数  binocdf

格式  binocdf (k, n, p)   %n为试验总次数，p为每次试验事件A发生的概率，k为n次试验中事件A发生的次数，该命令返回n次试验中事件A恰好发生k次的概率。

命令  正态分布的累积概率值

函数  normcdf

格式  normcdf()   %返回F(x)=的值，mu、sigma为正态分布的两个参数

例4-23  设X~N（3, 22）

（1）求

（2）确定c，使得

解（1） p1=

       p2=

p3=

p4=

则有：

>>p1=normcdf(5,3,2)-normcdf(2,3,2)

p1 =

   0.5328

>>p2=normcdf(10,3,2)-normcdf(-4,3,2)

p2 =

   0.9995

>>p3=1-normcdf(2,3,2)-normcdf(-2,3,2)

p3 =

   0.6853

>>p4=1-normcdf(3,3,2)

p4 =

   0.5000

专用函数计算累积概率值函数列表如表4-4。

表4-4  专用函数的累积概率值函数表

说明  累积概率函数就是分布函数F(x)=P{X≤x}在x处的值。

4.4  随机变量的逆累积分布函数

MATLAB中的逆累积分布函数是已知，求x。

逆累积分布函数值的计算有两种方法

4.4.1  通用函数计算逆累积分布函数值

命令  icdf  计算逆累积分布函数

格式  icdf('name',P,a1,a2,a3)

说明  返回分布为name，参数为，累积概率值为P的临界值，这里name与前面表4.1相同。

如果，则

例4-24  在标准正态分布表中，若已知=0.975，求x

解：>> x=icdf('norm',0.975,0,1)

x =

   1.9600

例4-25  在分布表中，若自由度为10，=0.975，求临界值Lambda。

解：因为表中给出的值满足，而逆累积分布函数icdf求满足的临界值。所以，这里的取为0.025，即

>> Lambda=icdf('chi2',0.025,10)

Lambda =

   3.2470

例4-26  在假设检验中，求临界值问题：

已知：，查自由度为10的双边界检验t分布临界值

>>lambda=icdf('t',0.025,10)

lambda =

      -2.2281

4.4.2  专用函数-inv计算逆累积分布函数

命令  正态分布逆累积分布函数

函数  norminv

格式  X=norminv(p,mu,sigma)   %p为累积概率值，mu为均值，sigma为标准差，X为临界值，满足：p=P{X≤x}。

例4-27  设，确定c使得。

解：由得，=0.5，所以

>>X=norminv(0.5, 3, 2)

X=

  3

关于常用临界值函数可查下表4-5。

表4-5  常用临界值函数表

例4-28  公共汽车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会不超过1%设计的。设男子身高X（单位：cm）服从正态分布N（175，36），求车门的最低高度。

解：设h为车门高度，X为身高

求满足条件的h，即，所以

>>h=norminv(0.99, 175, 6)

h =

  188.9581

例4-29  卡方分布的逆累积分布函数的应用

在MATLAB的编辑器下建立M文件如下：

n=5; a=0.9;   %n为自由度，a为置信水平或累积概率

x_a=chi2inv(a,n)；   %x_a 为临界值

x=0:0.1:15; yd_c=chi2pdf(x,n)；   %计算的概率密度函数值，供绘图用

plot(x,yd_c,'b'), hold on   %绘密度函数图形

xxf=0:0.1:x_a; yyf=chi2pdf(xxf,n)；   %计算[0，x_a]上的密度函数值，供填色用

fill([xxf,x_a], [yyf,0], 'g')   %填色，其中：点(x_a, 0)使得填色区域封闭

text(x_a*1.01,0.01, num2str(x_a))   %标注临界值点

text(10,0.10, ['\fontsize{16}X~{\chi}^2(4)'])

  %图中标注

text(1.5,0.05, '\fontsize{22}alpha=0.9' )   %图中标注

结果显示如图4-9。

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