MATLAB中的符号计算与解析

1. 建立符号对象

建立符号变量和符号常量

MATLAB提供了两个建立符号对象的函数：sym和syms，两个函数的用法不同。

　　(1) sym函数

　　sym函数用来建立单个符号量，一般调用格式为：

符号量名=sym('符号字符串')

该函数可以建立一个符号量，符号字符串可以是常量、变量、函数或表达式。

应用sym函数还可以定义符号常量，使用符号常量进行代数运算时和数值常量进行的运算不同。下面的命令用于比较符号常量与数值常量在代数运算时的差别。

　　(2) syms函数

　　函数sym一次只能定义一个符号变量，使用不方便。MATLAB提供了另一个函数syms，一次可以定义多个符号变量。syms函数的一般调用格式为：

syms 符号变量名1 符号变量名2 … 符号变量名n

用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符串分界符(‘)，变量间用空格而不要用逗号分隔。

2. 符号表达式运算

　　1 符号表达式的四则运算

　　符号表达式的加、减、乘、除运算可分别由函数symadd、symsub、symmul和symdiv来实现，幂运算可以由sympow来实现。

　　2 符号表达式的提取分子和分母运算

　　如果符号表达式是一个有理分式或可以展开为有理分式，可利用numden函数来提取符号表达式中的分子或分母。其一般调用格式为：

　　[n,d]=numden(s)

　　该函数提取符号表达式s的分子和分母，分别将它们存放在n与d中。

　　3 符号表达式的因式分解与展开

　　MATLAB提供了符号表达式的因式分解与展开的函数，函数的调用格式为：

　　factor(s)：对符号表达式s分解因式。

　　expand(s)：对符号表达式s进行展开。

　　collect(s)：对符号表达式s合并同类项。

　　collect(s,v)：对符号表达式s按变量v合并同类项。

　　4 符号表达式的化简

　　MATLAB提供的对符号表达式化简的函数有：

　　simplify(s)：应用函数规则对s进行化简。

　　simple(s)：调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简，并显示化简过程。

　　5 符号表达式与数值表达式之间的转换

　　利用函数sym可以将数值表达式变换成它的符号表达式。

　　函数numeric或eval可以将符号表达式变换成数值表达式。

3 . 符号表达式中变量的确定

　　MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常量。findsym可以帮助用户查找一个符号表达式中的的符号变量。该函数的调用格式为：

　　findsym(s,n)，函数返回符号表达式s中的n个符号变量，若没有指定n，则返回s中的全部符号变量。

4. 符号矩阵

　　符号矩阵也是一种符号表达式，所以前面介绍的符号表达式运算都可以在矩阵意义下进行。但应注意这些函数作用于符号矩阵时，是分别作用于矩阵的每一个元素。

由于符号矩阵是一个矩阵，所以符号矩阵还能进行有关矩阵的运算。MATLAB还有一些专用于符号矩阵的函数，这些函数作用于单个的数据无意义。例如

transpose(s)：返回s矩阵的转置矩阵。

determ(s)：返回s矩阵的行列式值。

其实，曾介绍过的许多应用于数值矩阵的函数，如diag、triu、tril、inv、det、rank、eig等，也可直接应用于符号矩阵。

5 . 符号微积分

　　1 符号极限

limit函数的调用格式为：

(1) limit(f,x,a)：求符号函数f(x)的极限值。即计算当变量x趋近于常数a时，f(x)函数的极限值。

(2) limit(f,a)：求符号函数f(x)的极限值。由于没有指定符号函数f(x)的自变量，则使用该格式时，符号函数f(x)的变量为函数findsym(f)确定的默认自变量，即变量x趋近于a。

(3) limit(f)：求符号函数f(x)的极限值。符号函数f(x)的变量为函数findsym(f)确定的默认变量；没有指定变量的目标值时，系统默认变量趋近于0，即a=0的情况。

(4) limit(f,x,a,'right')：求符号函数f的极限值。'right'表示变量x从右边趋近于a。

(5) limit(f,x,a,‘left’)：求符号函数f的极限值。‘left’表示变量x从左边趋近于a。

1 %限1： 2 syms a m x; 3 f=(x*(exp(sin(x))+1)-2*(exp(tan(x))-1))/(x+a); 4 limit(f,x,a) 5 ans = 6 (1/2*a*exp(sin(a))+1/2*a-exp(tan(a))+1)/a 7 %限2： 8 syms x t; 9 limit((1+2*t/x)^(3*x),x,inf)10 ans =11 exp(6*t)1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.

　　2 符号导数

diff函数用于对符号表达式求导数。该函数的一般调用格式为：

diff(s)：没有指定变量和导数阶数，则系统按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求一阶导数。

diff(s,'v')：以v为自变量，对符号表达式s求一阶导数。

diff(s,n)：按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求n阶导数，n为正整数。

diff(s,'v',n)：以v为自变量，对符号表达式s求n阶导数。

　　3 符号积分

符号积分由函数int来实现。该函数的一般调用格式为：

int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分。

int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分。

int(s,v,a,b)：求定积分运算。a,b分别表示定积分的下限和上限。该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时，函数返回一个定积分结果。当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。

　　4 积分变换

　　常见的积分变换有傅立叶变换、拉普拉斯变换和Z变换。

　　　　1．傅立叶(Fourier)变换

　　　　在MATLAB中，进行傅立叶变换的函数是：

　　　　fourier(f,x,t)：求函数f(x)的傅立叶像函数F(t)。

　　　　ifourier(F,t,x)：求傅立叶像函数F(t)的原函数f(x)。

　　　　2．拉普拉斯(Laplace)变换

　　　　在MATLAB中，进行拉普拉斯变换的函数是：

　　　　laplace(fx,x,t)：求函数f(x)的拉普拉斯像函数F(t)。

　　　　ilaplace(Fw,t,x)：求拉普拉斯像函数F(t)的原函数f(x)。

　　　　3．Z变换

　　　　当函数f(x)呈现为一个离散的数列f(n)时，对数列f(n)进行z变换的MATLAB函数是：