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通过非线性动力时程分析可以获得结构在地震作用下的非线性动力响应。精细化的建模计算在获得结构的整体响应的同时又可以获得局部构件的响应，然而精细化的模型需要复杂的建模和较长的计算时间，大量地震动下不同参数的计算显得不切实际。当我们重点关注的是结构的整体响应时，非线性反应谱为估计结构的非线性反应提供了一个简单的方法。本文以自复位模块柔性支撑钢框架为例，介绍了一种建立等延性谱的方法。
R-μ-T关系
为了建立非线性反应谱，需要在软件中建立一系列的单自由度系统，并使用多条不同频谱特性的地震动进行时程分析。
在美国设计规范ASCE 7-16中，使用强度折减系数R对使用线弹性伪加速度谱计算得到弹性地震力Fe折减获得结构设计基底剪力Fy。如图1所示，由于结构设计承载力Fy是小于弹性地震力需求Fe的，因此结构在遭遇设计强度的地震动作用时，会进入非线性阶段。
单自由度系统使用R值进行折减后的非线性响应，需要通过相应的非线性动力时程分析确定。如图1所示延性系数μ是系统非线性过程中的峰值位移响应unl,max与屈服位移uy之比。对于一个初始周期T确定的单自由度系统，当地震波确定后，其弹性地震力响应Fe也确定了下来，当折减系数R值确定之后，单自由度系统的延性系数μ也由非线性动力时程分析确定下来。在大量地震波作用下，通过统计分析即可获得强度折减系数R、延性系数μ与初始周期T之间的关系，即R-μ-T关系，等延性谱则是在目标μ下，获得R与T的关系。
自复位模块钢框架及行为
自复位结构近年来成为了结构工程领域研究的热点问题，本文讨论的重点为自复位模块柔性支撑钢框架。
自复位模块为一个单跨单层的后张预应力平面钢框架，安装在钢框架的跨中，为结构提供一定的抗侧能力和自复位能力。本文讨论的自复位模块命名为SCMP。SCMP由模块梁（panel beam）、模块柱（panel column）、后张预应力钢绞线（PT strands）和柔性扁钢支撑（strip bracing）组成，图2给出了基于自复位模块的柔性支撑钢框架示意图。
自复位模块柔性支撑钢框架在结构发生侧移时，由自复位模块和柔性支撑两部分为整体结构提供抗侧刚度和承载力，对某一层结构进行连续两次超过柔性支撑屈服位移的升幅加载，整体响应如图3所示。
自复位模块钢框架等延性谱建立流程
单自由度体系的建立在有限元软件OpenSees软件中进行，建立模型如图4所示。
图4 单自由度示意图
在软件中建立两个重合的节点，第一个节点赋予质量，作为振动的单自由度质点。第二个点给予固定约束，作为边界条件。两点之间除了Rayleigh阻尼外，仅使用两个“零长度”弹簧单元A，B相互连接。当进行线弹性分析时，弹簧A为线弹性单元，弹簧B不使用。当进行非线性分析时，弹簧A对应为柔性支撑的本构特性，弹簧B为自复位模块的本构特性。
由于所研究结构体系具有两个不同的构件共同提供抗侧力，且柔性支撑本构存在滑移段，因此与传统的等延性谱建立的流程不同。延性系数μ和强度折减系数R均根据柔性支撑（非模块）的本构进行确定，自复位模块的本构需求按照比例进行计算，以下是具体流程：
1确定目标延性系数
单自由度系统中控制质点的质量m不变，通过修改刚度ki来调整单自由度的自振周期Ti，Ti的范围定为0.2到3秒，每0.1秒插入一个点共计29个周期点
2计算最大位移响应
获得结构的自振周期后，使用多条地震动中第j条gmj对系统进行线弹性分析，记录此时的最大位移响应：
并由此计算相应的弹性力需求：
3非线性分析
使用多条地震动中第j条gmj对自振周期Ti的系统进行非线性分析，此时两质点之间使用非线性弹簧连接。弹簧A使用柔性支撑滑移本构特性，弹簧B使用自复位模块双折线本构特性。首先确定R值，第一次选择R=2（第零次为弹性分析，R=1），计算柔性支撑承载力Fb=Fe/R，刚度kb使用弹性系统的刚度k的0.75倍，柔性支撑屈服后刚度比定为0.02。
自复位模块的第一阶段刚度ksc使用弹性系统刚度的0.25倍，拐点位移uy,sc定为柔性支撑屈服位移uy,b的0.25倍，第二阶段刚度比定为0.05。使用第j条地震动gmj对该系统进行非线性分析。计算获得单自由度系统的最大位移响应记为unl,max，并计算此时的延性系数μ=unl,max/uy,b，若|μ-μtarget|<0.005则停止计算，记录此时R=2为Ri,j。若μ-μtarget<-0.005，则第二次R=4进行计算，得到新的μ值，若μ-μtarget>0.005，则第三次R=(2+4)/2=3进行计算，也即使用二分法不断寻找R值，使得计算得到的μ为目标延性系数。
案例分析
对上述的等延性谱计算方法建立μ=[2,8]的等延性谱，并使用Matlab对其进行拟合，拟合结果如下图所示：
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