经典层合板理论回顾与解析

经典层合板理论，Classical Laminate Theory ，简写CLT，基于基尔霍夫(Kirchhoff)假设即直法线假设和法线长度保持不变，z向应力可以忽略假设，而建立的薄层合板分析理论。本文将带大家从头至尾回顾一下经典层压板理论的来龙去脉。
     

1  层合板的变形

无论是经典层合板理论还是剪切变形理论，都需要从层合板的变形描述开始讲起。以图1所示的层合板为例，当受到外部载荷作用时，层合板将发生面内伸缩或者弯曲变形。

图1 层合板示意图

图2所示为层合板在XZ平面内的变形情况。

(a)变形前的截面   (b)变形后的截面

图2 XZ平面内的变形

以XZ平面内的变形为例，其中B是中面上的一点，C是截面上的任意点，b是层合板中面的转角，则有：

其中，

注：在小变形假设下，b是小量，所以有b≈sinb。

根据上式，层合板上任一点的位移u可以表示为：

同理，在YZ平面内，也可以得到任意一点的位移v的表达式：

另外，经典层合板理论中，任意一点的位移w与其中性面上的面外位移w₀相等，即：

2  变形与应变的关系

基于经典层合板理论中位移的表达式：

图3 经典层合板理论和剪切变形理论对比

引入几何方程（应变与位移的关系式）：

将层合板的变形代入上式可以得到，

其中，为中面的曲率（曲率半径的倒数）,  为中面的扭率。

将总应变整合后形式如下，其中第一部分代表的是面内的应变，第二部分代表的是弯曲引起的应变。

另外，基于Kirchhoff假设，变形后的法线仍然垂直于中面，变形后法线仍为直线且长度不变，不考虑沿厚度方向的剪切变形，则有：

3 应力应变关系

对于单向层合板，在材料坐标系下的应力应变关系为，

写成柔度矩阵形式为，

对柔度矩阵求逆可以得到弹性矩阵Q，弹性矩阵及柔度矩阵中的系数表达式可查阅任意一本复合材料力学书。

以下是二维问题柔度矩阵S中的柔度系数定义，

以下是弹性矩阵的定义，

在一个层合板中，包含多个铺层角度，则对于第k个铺层，在层合板坐标系下单层的应力应变关系为：

其中，由通过矩阵变换得到，应力应变关系展开形式如下：

4 作用在层板上的力/力矩

作用在层合板上的载荷可以分为力和力矩两类，如下图所示，N_i代表的是作用在层合板单位宽度上的力，M_i代表的是作用在层合板单位宽度上的力矩，i=x,y,xy

图4 作用在层压板上的力

图5 作用在层压板上的力矩

5 力/力矩与应力的关系

将应力沿层板厚度方向积分得到的是层合板单位宽度上合力Ni，将应力与厚度方向的坐标z的乘积沿厚度方向积分即可得到层合板单位宽度上合力矩Mi，具体表达如下：

展开的表达形式如下：

图6 层板厚度方向几何分层示意图

6  力/力矩与应变/曲率的关系

将前面推导出的应力应变关系及应变变形关系式带入到合力及合力矩表达式，可以得到：

将中性面应变和曲率提取出来，上式变为：

整合到一起之后表达形式如下：

其中，

上述矩阵中，矩阵[A]、[B]和[D]分别称为面内刚度矩阵、耦合刚度矩阵和弯曲刚度矩阵，都是3×3对称矩阵。

由上述公式可以看出，B矩阵代表着层合板在弯曲和拉伸之间的相互耦合，拉力不仅引起层合板的拉伸变形，还会引起层合板的弯曲或扭转，同样层合板在承受纯力矩作用时，也会引起中面的拉伸变形

特殊地，当层合板为对称铺层时，B矩阵为0，即层合板不存在拉伸与弯扭的耦合。

7 ABD矩阵计算程序

商业软件中基本都集成了经典层合板理论，如Abaqus，Nastran等，在建模过程中只需要将ABD矩阵赋予相应的单元或几何即可。现提供一种基于Matlab的层合板ABD矩阵计算程序，输入单层材料的力学性能及铺层顺序后即可获得ABD矩阵。

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