有限元入门课程：大师兄的第一课

记得读研的时候，有一次师兄给了我一个装着实验试样的小铁盒子，让我去把实验做一下。当我把实验仪器调好，准备打开盒子取出试样的时候，突然发现这个盒子居然抠不开，我以为是螺丝的，试着拧了下，还是拧不动，又从边上抠了半天，还是抠不开。我又端详了这个铁盒半天，这是个无甚奇特的小盒子，铝皮圆盒子，盒盖略微向上突起，有点像小孩玩的拨浪鼓面，盖子下面做成了齿状，我心里纳闷怎么盖得这么紧，我又加大力气，拉，扭，抠，指甲都快抠掉了，这家伙居然还是打不开，就像紧紧咬住的牙齿，死死的咬住了盒子。

我差点想拿个切割机把他切开，又怕弄坏了里面的试样，只好回到了实验室，师兄问：师弟，实验做完了？我说：师兄，盒子打不开。师兄一脸鄙夷，现在的师弟一届不如一届了，连个盒子都打不开，来，师兄教你。

只见师兄接过小盒子，轻轻的放在自己的手心，那是一只粗大而厚实的手，长期敲键盘和写字的痕迹清洗可见，和师兄略显沧桑的脸，丝丝白色夹杂的头发相映，我想这双手翻阅了多少篇文献，写了多少文章，推导了多少公式，才能成为这么一双满是阅历和睿智的手。遐思之间，只见师兄用手指头在盒盖上面轻轻一按，如同小孩轻轻的拨打了一下玩具拨浪鼓，只听啪的一声响，紧紧咬住的盖子居然松开了嘴，然后盖子就被轻松取下来了。我当时一惊，用惊奇的眼神看着师兄，还是师兄牛逼呀，不愧是实验室顶梁柱，不愧是翻阅了无数篇文献，写了无数文章，推导了无数公式的手。

师兄说：“师弟呀，学海无涯，要多学点知识啊，不然你连这个盒子都打不开”。师兄接着解释说，这是利用了这个盖子的两个状态，中间往上凸起扣死，往下凹就打开了，等你以后学习了非线性有限元你就能明白这个盒子的原理了。当时就觉得这个小玩意挺牛逼的，但是并不明白这其中涉及到的力学理论知识，只是对师兄更充满崇敬之情。

直到多年后的某一天，我还在艰辛的啃着非线性有限元，智商不够用的我，看着那些复杂高深的文字和精妙绝伦的公式，昏昏沉沉，浑浑噩噩，但是内心又挣扎着，鞭策自己，一定要啃下这个山头。

恍惚之中，我看到了一段话: “One of such problems is related to theopening of, e.g. a glass of jam. Here a loud noise of the lid proves that the glasswas not opened before and that the contents are untouched. The noise is relatedto a snap-through of a thin shell (the lid) following from a change of theinternal pressure”

我的脑子突然灵光一闪，opening? The lid? 盒盖子？非线性有限元？盒子，非线性有限元？大师兄的话突然又浮现在脑海：“师弟啊，等你以后学习了非线性有限元，你就能明白这个盒子的原理了”。这么多年来，我一直没有忘记大师兄的这句话，这不会是巧合，这里面肯定有什么关联，我一下子振作了精神，眼前的文字，公式突然跳动起来，我的思维一下子变得清晰，我一定要找出这其中的奥义。

这一节介绍的是非线性有限元中的一个概念snap –through，书中讲了一个简单地例子，V形桁架结构，中间作用外力F，由简单地理论解析可以得到F和挠度w的关系，如上图所示，这是一个典型的非线性问。在D点之前，载荷随着w的增加而增加，而之后载荷却减小，在D点和E点之间系统无法处于一个静平衡状态，E点后，载荷又随着w增加而增加，从D点到E点，系统可以从一个平衡态突变到另一个平衡态，D点被称为Snap-through point，D点对应的载荷下，系统的挠度有两个解，这就是一种跳跃失稳现象。动态失稳，突然从一点跳跃到另一点，这些字眼突然连成一串，我又想起了师兄那双手推导过无数公式的手，那翻过无数文献的指尖，那轻轻的一按，啪的一下，盒盖凹下去打开，我突然大悟，这不就是Snap-Through吗！.

为了验证我的猜想是对的，我决定用Abaqus来验证一番。为了简化案例，建立了轴对称模型，在之前的文章提到过，对于这种问题，牛顿-拉普森迭代法只能当围观群众了，只能请我们的弧长法兄弟出马了。

下图为简化后的轴对称模型，采取的shell轴对称单元，施加向下的压力，采取static risk分析步进行计算，很快便得到了仿真结果。可以看到挠度变形图，通过旋转，可以生成三维壳结果。

载荷挠度曲线如下图所示，可以看到，载荷是先增大，再减小，然后增大，和前面讲的Snap-Through问题是一致的，在载荷达到第一个小顶峰后，会突然突变到后面的一个平衡点，也就是压力达到一定值后，盒盖会翻转过去。

我又用general static分析步进行了分析，采用的是一般牛顿-拉普森迭代法，得到载荷位移曲线（红色粗曲线），可以看到，果然死在了第一个小山头上，后面就不收敛了，这也说明了，这种问题牛顿迭代法难以胜任。

通过上面仿真分析发现，这个盒盖子就是一个Snap-Through问题。我终于明白了师兄的那句话：等你以后学习了非线性有限元你就能明白里面的原理。我突然明白了，其实生活中的一些小问题，往往蕴含着一些浅显而又深刻的理论知识，在以后的有限元路上，大师兄的教导“师弟呀，学海无涯，要多学点知识啊”，一定会成为我们克服艰辛，披荆斩棘，无往不胜的最佳武器。

好了，今天的故事就编到这里了，大师兄的第一课告诉我们：

1、在你学会新的知识之前，你永远不知道自己有多嫩，大师兄的那双手才是你求学之路上最激励人心的指引。

2、理论知识的学习不一定枯燥乏味，当你越过山丘，会发现恍然大悟的等候。

3、看了人家的文章，觉得还阔以，就要给人点赞嘛。

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