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SS模型复模态物理意义及Adams复模态振型求解

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adams可以线性化输出SS状态空间ABCD矩阵，根据A可以进行系统复模态计算。

A可看作是角频率张量矩阵，由模态矩阵进行坐标变换解耦后可以得到所有的模态参数，特征向量（模态系数）为复数不仅影响幅值，还影响相位角，而特征值为复数，其虚部为阻尼频率，而实部会使振动随时间衰减。

GX˙+HX=0

^ФTGФ^{Ф-1X˙+ФTHФ Ф-1X=0}

将X˙转换到主模态基下，G转换到主模态对偶基下，在对偶基下完成系统解耦。

^{_{[en]T ФTGФ}}^{_{Ф-1X˙+ [en]T ФTHФ Ф-1X=0}}

X˙=-G\HX=AX

A可认为是角频率张量矩阵。

^Ф-1^{X˙=Ф-1 (ФT )-1 ФTAФ Ф-1 X}

将位移X和速度X˙由逆模态振型矩阵^Ф-1变换到主坐标基中，角频率阵经^{ФTAФ变换到主基的对偶基后，乘以位移矩阵，得到对偶基下的速度矩阵}，再经^{Ф-1 (Ф}^T^)-1变换到主基下，在主基下完成系统解耦。

以张量描述为：

^_[ep]T^Ф-1^{_{X˙= [ep]TФ-1 (ФT)-1 ФTAФ Ф-1 X}}

设位移矢量、速度矢量、角频率张量在原基下：^{_{Er :[e1 e2]T}}为单位基矢量。

位移矢量为：^{_{[e1 e2][x1 x2]T,}}

速度矢量为：^{_{[e1 e2][x1˙ x2˙]T,}}

角频率张量为：^{_{[e1 e2][A11, A12;A21,A22] [e1 e2] T}}。

主基为^{_{Ep: [ep1 ep2]T}}为单位基矢量。

主基的对偶基为^{_{En: [en1 en2]T}}为单位基矢量。

^{_{Er到Ep的过渡矩阵为：Arp=Ф=[e1 e2]T [ep1 ep2]}}

_Ep到_Er的过渡矩阵为：^{_{Apr=Ф-1=[ep1 ep2]T [e1 e2]}}

^{_{En到Er的过渡矩阵为：Anr=ФT=[en1 en2]T [e1 e2]}}

_En到_Ep的过渡矩阵为：^{_{Anp=ФTФ=[en1 en2]T [ep1 ep2]}}

_Ep到_En的过渡矩阵为：^{_{Apn=(ФTФ)-1=[ep1 ep2]T [en1 en2]}}

带入上述SS状态方程可得：

_{[ep1 ep2] [ep1] [e1 e2] [x1˙] =}

_[ep2]_{[ x2˙]}

_{[ep1 ep2] [ep1] [en1 en2] [en1 ] [e1 e2] [A11, A12] [e1] [ep1 ep2] [ep1] [e1 e2] [x1]}

_[ep2]_{[en2] [A21,A22] [e2] [ep2] [x2]}

从而可以清楚地看到坐标变换（解耦）的过程。

A=[-1.00377172158969996E+00 -3.91715793777936216E+00 0.00000000000000000E+00 -1.96627966300476429E-06
1.00000000000000000E+00 0.00000000000000000E+00 0.00000000000000000E+00 0.00000000000000000E+00
0.00000000000000000E+00 5.65305403113869734E-06 -1.00377172158969996E+00 -1.12618290711156668E+01
0.00000000000000000E+00 0.00000000000000000E+00 1.00000000000000000E+00 0.00000000000000000E+00
];
%A=load('f:\temp\tta.txt');
f_M_K=A([1,3],[2,4]);
M_K=-f_M_K;
[vec,ome]=eig(M_K);
omeg=diag(sqrt(ome));
omeg_hz=omeg/2/pi;
f_M_C=A([1,3],[1,3]);
M_C=-f_M_C;
ssA=[zeros(2),eye(2);-M_K,-M_C];
[Vec,Ome]=eig(ssA);
Omeg=imag(diag(Ome([1,3],[1,3])));
alpha=real(diag(Ome([1,3],[1,3])));
Omeg_hz=Omeg/2/pi;
alpha_hz=alpha/2/pi;
Vec_single=Vec(:,[1,3]);
Vec_abs=abs(Vec_single);
Vec_ang=angle(Vec_single)*180/pi;

mode_vec=vec;
mode_vec(:,1)=mode_vec(:,1)./mode_vec(1,1);
mode_vec(:,2)=mode_vec(:,2)./mode_vec(1,2);
subplot(3,3,1)
plot([1;2],mode_vec(:,1))
title(strcat('w1=',num2str(omeg_hz(1))));
subplot(3,3,2)
plot([1;2],mode_vec(:,2))
title(strcat('w2=',num2str(omeg_hz(2))));

mode_abs=Vec_abs(1:2,:);
mode_ang=Vec_ang(1:2,:);
mode_abs(:,1)=mode_abs(:,1)./mode_abs(1,1);
mode_abs(:,2)=mode_abs(:,2)./mode_abs(1,2);
subplot(3,3,3)
plot([1;2],mode_abs(:,1))
title(strcat('alpha1=',num2str(alpha_hz(1)),'beta1=',num2str(Omeg_hz(1))));
subplot(3,3,4)
plot([1;2],mode_abs(:,2))
title(strcat('alpha2=',num2str(alpha_hz(2)),'beta2=',num2str(Omeg_hz(2))));

subplot(3,3,5)
plot([1;2],mode_ang(:,1))
title(strcat('ang_mode1','beta1=',num2str(Omeg_hz(1))));
subplot(3,3,6)
plot([1;2],mode_ang(:,2))
title(strcat('ang_mode2','beta2=',num2str(Omeg_hz(2))));

subplot(3,3,7)
polar(mode_ang(:,1)*pi/180,mode_abs(:,1));
title(strcat('ang_mode1','beta1=',num2str(Omeg_hz(1))));
subplot(3,3,8)
polar(mode_ang(:,2)*pi/180,mode_abs(:,2));
title(strcat('ang_mode2','beta2=',num2str(Omeg_hz(2))));

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