新加坡国立大学Science期刊：二维狄拉克费米子中的电子-电子相互作用研究

【引言】
   

1952年，Freeman Dyson 提出过这样一种论点：关于量子电动力学问题的所有理论解都具有精细结构常量α的微扰渐进级数展开形式，其中库仑势是α/r的形式，r是两个电子之间的距离，此外，他表明这种解超出了由逆精细结构常量所给出的扰动理论的顺序。为了实现二维狄拉克费米子的凝聚态，要使其精细结构的等效值即长程库仑耦合常数α~1，这就意味着任何扰动理论都有可能不受控制。在实验上，二维狄拉克费米子可以在多种凝聚态系统中实现，包括三维拓扑绝缘体表面和人造石墨烯中等。

【成果简介】
   

近日，新加坡国立大学的S. Adam教授（通讯作者）在国际顶尖期刊Science上发表题为“The role of electron-electron interactions in two-dimensional Dirac fermions”的研究论文。研究人员采用非微扰、精确数值的投射量子蒙特卡洛方法以可控的方式研究可观测物理量的演化，研究发现，在由长程相互作用所控制的区域，费米速度的增强与微扰理论一致。相反地，在靠近由短程相互作用所控制的相变区域，研究人员发现费米速度会被抑制并且数值数据也会崩溃，而对于一条曲线上的长程和短程相互作用的比例也会产生不同的值。此外，研究人员通过重整化群方案将量子蒙特卡洛结论外推到与实验相关的能量标度，所预测的可观测量将取决于库仑相互作用的短程和长程分量以及所观测的能量标度（所有参数都可以在当前的实验中进行调整）。

【图文导读】
   

图一 位于蜂窝晶格上的费米子相图

  对于长程相互作用α₀的任意值，存在一个由量子蒙特卡洛（数据点）所计算的短程相互作用U_c（α₀）的临界值，其中系统经历了量子相变到莫特绝缘体的转变；在存在长程相互作用的情况下，需要一个更大的在位相互作用值才能达到量子相变；通过求解重整化群（RG）流动方程（红色曲线）可以理解相图，包括在位和最近邻相互作用，通过长程库仑尾巴减少有效的在位相互作用；实心蓝线是数据点的四次插值曲线，阴影部分表示所用的数值方法无法达到的区域，误差棒表示数值的不确定性，费米液态区域、弱相互作用的半金属和强相互作用的莫特反铁磁体如插图所示

图二 通过电子-电子相互作用重整化的狄拉克费米子费米速度

对于库仑相互作用的不同短程（U）和长程（α₀）分量所得的投射量子蒙特卡洛结果；图中所绘制的曲线是费米速度相对于狄拉克点处非相互作用值的相对变化，用小的U/U_c（α₀）来定义弱耦合状态，其中长程和短程分量的不同比值γ作为α₀的函数而崩溃

这里的电子-电子相互作用所提高的费米速度与PRA（左插图）一致；微扰理论（PT）结果也如图所示，Gross-Neveu普遍的金属到莫特绝缘体相变发生在U=U_c（α₀）处，其中抑制费米速度可以理解为狄拉克费米子和新生反铁磁态的玻色子激发之间的耦合（褐色星是通过自旋波理论所确定的抑制费米速度的估计值）；

右侧插图表示不同γ值下的量子蒙特卡洛数据，其中费米速度从Gross-Neveu点崩溃值变化成一条曲线，并向远离相变区移动；所得的数据跨越了弱耦合固定点和Gross-Neveu临界点之间的整个交叉区域，估计拓扑绝缘体接近于相变的位置，而类似于蜂窝状的晶格位于弱耦合极限处；石墨烯狄拉克费米子位于这两种区域之间

图三 从量子蒙特卡洛数据中所确定的重整化群流参数

  （A）接近弱耦合定点的代表性数据，其中在位Hubbard模型（蓝色数据）表示费米速度基本无变化；通过长程相互作用，费米速度随着动量的减小而增加（红色数据），也可以通过使用连续微扰理论（PT）（红曲线）或者无可调参数的晶格微扰理论（黑曲线）来理解，它们均以对数形式发散

  （B）Gross-Neveu (GN)的临界点是非常不同的，这里，Hubbard模型（蓝色数据）以及包括长程库仑相互作用的数据（红色数据）都未在小Λ_k处表现出对数发散，现象学上的拟合体现了在位Hubbard模拟（蓝色虚线），在黑色曲线（晶格扰动理论）和有限长程相互作用的量子蒙特卡洛数据中可以看出，归一化费米速度从Λ_k=2到Λ_k=1缓慢增加

  （C）在Λ_k≲2处按对数增长，使用Gross-Neveu临界点的一阶微扰理论来拟合该增量而获得（B）中的红色曲线

图四 石墨烯中实现这一现象的理论预测

  图中的实线（红色，接近于Gross-Neveu定点；蓝色，接近于弱耦合定点）表明相互作用引起了耦合常数的变化，对于具有不同α₀的真实石墨烯，所用的数值能量标度由所选择的衬底决定；浅色线表明实验的能量标度在数值上难以达到但可使用重整化群分析从数值数据中得到；量子蒙特卡洛模拟（数据点）在左右图中有相同值，而且可以区分以上两种理论；虚线箭头示意性地表示从数值标度（小圈）到实验标度（大圈）的重整化流程，右图表示α₀ = 0.1和1.2的流程；对于在介电衬底上大部分可实现的石墨烯，所预测耦合常数的微弱抑制在重整化后仅稍微改变（对于α₀≈0.1，实线和浅色线没有太大差异）；研究人员预测，对于小的α₀（如金属衬底上的石墨烯），耦合常数会增大（如实红线大于整体数据）而且会随着实验标度的重整化而进一步增大（右侧图中红线增加）

【小结】
   

本文通过使用库仑相互作用的近程和远程分量的非微扰数值和分析技术，确定了两种转变方案：Gross-Neveu过渡到强关联性的莫特绝缘体；通过随机相位近似准确描述的具有对数发散费米速度的半金属态。研究人员预测狄拉克费米子会跨越这种交叉态，并且可以确定费米速度是否通过相互作用而增大或减小；也解释了一些长期存在的奥秘，包括为什么观察到石墨烯中的费米速度始终比通过从头算（ab initio）所得的值大20%以及为什么不同衬底上的石墨烯表现出不同的性质等。

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